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          精英家教網> 試卷> 題目
          難點23  求圓錐曲線方程 求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點,主要考查學生識圖、畫圖、數形結合、等價轉化、分類討論、邏輯推理、合理運算及創新思維能力,解決好這類問題,除要求同學們熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質外,命題人還常常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題,解決這類問題常用定義法和待定系數法. ●難點磁場 1.()雙曲線=1(b∈N)的兩個焦點F1、F2,P為雙曲線上一點,|OP|<5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數列,則b2=_________.

          難點23  求圓錐曲線方程 求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點,主要考查學生識圖、畫圖、數形結合、等價轉化、分類討論、邏輯推理、合理運算及創新思維能力,解決好這類問題,除要求同學們熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質外,命題人還常常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題,解決這類問題常用定義法和待定系數法. ●難點磁場 1.()雙曲線=1(b∈N)的兩個焦點F1、F2,P為雙曲線上一點,|OP|<5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比數列,則b2=_________. 參考答案

          參考答案

          難點磁場

          1.解析:設F1(-c,0)、F2(c,0)、P(x,y),則

          |PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)<2(52+c2),

          即|PF1|2+|PF2|2<50+2c2,

          又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|.|PF2|,

          依雙曲線定義,有|PF1|-|PF2|=4,

          依已知條件有|PF1|.|PF2|=|F1F2|2=4c2

          ∴16+8c2<50+2c2,∴c2,

          又∵c2=4+b2,∴b2,∴b2=1.

          答案:1

          2.解法一:設所求圓的圓心為P(a,b),半徑為r,則點Px軸、y軸的距離分別為|b|、|a|

          ∵圓Py軸所得弦長為2,∴r2=a2+1

          又由題設知圓Px軸所得劣弧對的圓心角為90°,故弦長|AB|=r,故r2=2b2,從而有2b2a2=1

          又∵點P(a,b)到直線x-2y=0的距離d=,

          因此,5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4aba2+4b2-2(a2+b2)=2b2a2=1,

          當且僅當a=b時上式等號成立,此時5d2=1,從而d取最小值,為此有,

          r2=2b2, ∴r2=2

          于是所求圓的方程為:(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2

          解法二:設所求圓P的方程為(xa)2+(yb)2=r2(r>0)

          A(0,y1),B(0,y2)是圓與y軸的兩個交點,則y1、y2是方程a2+(yb)2=r2的兩根,

          y1,2=b±

          由條件①得|AB|=2,而|AB|=|y1y2|,得r2a2=1

          設點C(x1,0)、D(x2,0)為圓與x軸的兩個交點,則x1,x2是方程(xa)2+b2=r2的兩個根,

          x1,2=a±

          由條件②得|CD|=r,又由|CD|=|x2x1|,得2b2=r2,故2b2=a2+1

          設圓心P(a,b)到直線x-2y=0的距離為d=

          a-2bd,得a2=(2b±d)2=4b2±4bd+5d2

          又∵a2=2b2-1,故有2b2±4bd+5d2+1=0.把上式看作b的二次方程,

          ∵方程有實根.

          Δ=8(5d2-1)≥0,得5d2≥1.

          dmin=,將其代入2b2±4bd+5d2+1=0,

          得2b2±4b+2=0,解得b=±1.

          從而r2=2b2=2,a=±1

          于是所求圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2

          殲滅難點訓練

          一、1.解析:將直線方程變為x=3-2y,代入圓的方程x2+y2+x-6y+m=0,

          得(3-2y)2+y2+(3-2y)+m=0.

          整理得5y2-20y+12+m=0,設P(x1,y1)、Q(x2,y2)

          y1y2=,y1+y2=4.

          又∵P、Q在直線x=3-2y上,

          x1x2=(3-2y1)(3-2y2)=4y1y2-6(y1+y2)+9

          y1y2+x1x2=5y1y2-6(y1+y2)+9=m-3=0,故m=3.

          答案:A

          2.解析:由題意,可設橢圓方程為: =1,且a2=50+b2,

          即方程為=1.

          將直線3xy-2=0代入,整理成關于x的二次方程.

          x1+x2=1可求得b2=25,a2=75.

          答案:C

          二、3.解析:所求橢圓的焦點為F1(-1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|.

          欲使2a最小,只需在直線l上找一點P.使|PF1|+|PF2|最小,利用對稱性可解.

          答案: =1

          4.解析:設所求圓的方程為(xa)2+(yb)2=r2

          則有 

          由此可寫所求圓的方程.

          答案:x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0

          三、5.解:|MF|max=a+c,|MF|min=ac,則(a+c)(ac)=a2c2=b2,

          b2=4,設橢圓方程為                                                                    ①

          設過M1M2的直線方程為y=-x+m                                                              

          將②代入①得:(4+a2)x2-2a2mx+a2m2-4a2=0                                                  ③

          M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中點為(x0,y0),

          x0= (x1+x2)=,y0=-x0+m=.

          代入y=x,得,

          由于a2>4,∴m=0,∴由③知x1+x2=0,x1x2=-,

          又|M1M2|=,

          代入x1+x2,x1x2可解a2=5,故所求橢圓方程為: =1.

          6.解:以拱頂為原點,水平線為x軸,建立坐標系,

          如圖,由題意知,|AB|=20,|OM|=4,A、B坐標分別為(-10,-4)、(10,-4)

          設拋物線方程為x2=-2py,將A點坐標代入,得100=-2p×(-4),解得p=12.5,

          于是拋物線方程為x2=-25y.

          由題意知E點坐標為(2,-4),E′點橫坐標也為2,將2代入得y=-0.16,從而|EE′|=

          (-0.16)-(-4)=3.84.故最長支柱長應為3.84米.

          7.解:由e=,可設橢圓方程為=1,

          又設A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+x2=4,y1+y2=2,

          =1,兩式相減,得=0,

          即(x1+x2)(x1x2)+2(y1+y2)(y1y2)=0.

          化簡得=-1,故直線AB的方程為y=-x+3,

          代入橢圓方程得3x2-12x+18-2b2=0.

          Δ=24b2-72>0,又|AB|=,

          ,解得b2=8.

          故所求橢圓方程為=1.

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